Question

如图，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．
（1）求证：△BDE∽△CEA；
（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．
（3）E点在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据∠BDE=∠CEA，∠B=∠C证得结论；
（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例列出比例式

BD

EC

=

BE

AC

，则把相关线段的长度代入即可列出y与x的关系式．注意自变量x的取值范围要注明；
（3）根据三角形外角性质和三角形的边角关系知AE≠AD．所以当△ADE是等腰三角形时，分两种情况：①当AE=DE时，△BDE≌△CEA；②当DA=DE时，△BAE∽△BCA．所以根据全等三角形和相似三角形的性质来求线段BE的长度．

解答：（1）证明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）解：∵△BDE∽△CEA，
∴

BD

EC

=

BE

AC

，
即

6-y

8-x

=

x

6

，
∴y=

1

6

x2-

4

3

x+6=

1

6

(x-4)2+

10

3

（0＜x＜8），
∴当x=4，y有最小值是

10

3

；

（3）解：∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①当AE=DE时，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=6cm；
②当DA=DE时，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴

BA

BC

=

BE

BA

，
即：

6

8

=

BE

6

，
∴BE=

36

8

=

9

2

cm，
∴△ADE为等腰三角形时，BE=6cm或

9

2

cm．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．