Question

【题目】如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为．若，求动点运动路径的长为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，过点P作OP⊥AB，取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O，连接OA，设半径长为R，则根据勾股定列出方程求出R的值，再根据弧长计算公式l=求出l值即可.

解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，如图所示，连接PQ，取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O，连接OA，OB.

∵P是AB的中点，

∴PA=PB=AB=6=3.

∵和是等边三角形，

∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，

∴AP=PD，∠APD=120°.

∴∠PAD=∠ADP=30°，

同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，

∴∠PAD=∠PBQ.

∵AP=PB,

∴PQ⊥AB.

∴tan∠PAQ==

∴PQ= .

在Rt△AOP中，

即

解得：OA= .

∵sin∠AOP===

∴∠AOP=60°.

∴∠AOB=120°.

∴l=== .

故答案选B.