Question

10．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）观察与思考：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为∠BPD=∠B+∠D，不必说明理由；
（2）猜想与证明：如图2，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）拓展与应用：如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N，已知∠AMB=140°，∠ANF=105°．利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为75度，∠A比∠F大65度．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠1，∠D=∠2，再根据∠BPD=∠1+∠2即可得解；
（2）连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；
（3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得．

解答 解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP∥CD，
∴∠B=∠1，∠D=∠2，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）如图，连接QP并延长，
结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
∠BPD=（∠BQP+∠B）+（∠DQP+∠D）=∠BQD+∠B+∠D．

（3）∵∠ANF=105°，
∴∠ENF=∠B+∠E+∠F=180°-105°=75°，
∵∠A=∠AMB-∠B-∠E，
∠F=180°-∠ANF-∠B-∠E，
∴∠A-∠F=∠AMB+∠ANF-180°=65°．
故答案为：∠BPD=∠B+∠D；75，65．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．