题目内容
3．如图1，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°．动点P从点A 出发沿折线段AD-DC，以每秒1个单位长度的速度向C点运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求菱形ABCD的面积；
（2）如图1，点E在对角线BD上且DE=2EB，连接AE．在点P从A点到C点运动过程中，是否存在△AEP是直角三角形的时刻？若存在，请求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过点P作PQ⊥AB 于Q点，以PQ为一边，PM为另一边向右作矩形PQNM，其中PM=4，在运动过程中当Q点与B点重合时运动停止，设矩形PQNM与菱形ABCD重合部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相对应的自变量的取值范围．
分析 （1）由菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，知菱形的面积等于等边三角形ABD面积的2倍；
（2）存在；EP⊥AD时，点P在AD上或PE⊥AE时，点P在DC上；用勾股定理和三角形相似解决；
（3）分四种情况分类讨论，①0≤t＜4；②4≤t＜3$\sqrt{3}$；③3$\sqrt{3}$≤t＜8；④8≤t≤9．
解答 解：（1）∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°
∴S菱形ABCD=2S△ABD=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；
（2）存在；
当EP⊥AD时，点P在AD上，如图1，作EP⊥AD，
∵DE=$\frac{2}{3}$BD=4，∠ADB=60°，
∴PD=2，AP=4，
∴t=4；
当PE⊥AE时，点P在DC上，如图2，作PE⊥AE，AG⊥BD，PF⊥BD，
∵PD=t-6，∠PDB=60°，
∴PF=$\sqrt{3}$（t-6），DF=$\frac{t-6}{2}$，
∴EF=4-$\frac{t-6}{2}$=$\frac{14-t}{2}$，
∵AG=3$\sqrt{3}$，DG=3，
∴GE=1
∵△AGE∽△EFP，
∴$\frac{PF}{EG}=\frac{EF}{AG}$，
∴$\frac{\sqrt{3}（t-6）}{1}=\frac{\frac{14-t}{2}}{3\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{86}{13}$；
（3）①当0≤t＜4时，S=2$\sqrt{3}$t；
②当4≤t＜3$\sqrt{3}$时，S=2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}（t-4）^{2}}{8}$=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t2+3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$；
③当3$\sqrt{3}$≤t＜8时，S=12$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}（t-5）^{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+5$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
④当8≤t≤9时，S=12$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×[（t-5）+（t-8）]×3$\sqrt{3}$=-3$\sqrt{3}$t+$\frac{63\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查了几何变换中的动点问题，涉及到了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，三角形的相似的判定与性质；解决此类问题的关键是能分析出各种情况的位置，分类讨论做到不重不漏，严密思考．
孟建平名校考卷系列答案
如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
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