Question

【题目】[问题情境]

已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

[数学模型]

设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为　　　　．

[探索研究]

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．

（1）结合问题情境，函数的自变量x的取值范围是　　　　，

如表是y与x的几组对应值．

x	…				1	2	3	m	…
y	…	4	3	2	2	2	3	4	…

①直接写出m的值；

②画出该函数图象，结合图象，得出当x=　　　　时，y有最小值，y的最小值为　　　　．

[解决问题]

（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

Answer 1

【答案】[数学模型]L=2(x)；[探索研究]（1）x＞0；①m的值为4；②1，2；（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．

【解析】

[数学模型]求出另一边长，然后根据矩形的周长公式即可得到结论；

[探索研究]（1）根据边长大于0可得自变量x的取值范围；

①求出y=4时x的值即可；

②根据表中的数据画出函数的图象，再结合表中的数据和函数图象得到y的最小值；

（2）根据（1）中的结论就可以求出周长的最小值．

[数学模型]∵矩形的面积为1，一边长为x，

∴另一边长为：，

∴L与x的函数表达式为：L=2(x)；

[探索研究]（1）自变量x的取值范围是x＞0；

①当y=4时，即，

解得：x=4或，

∴m的值为4；

②函数图象如图：

由图象得：当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；

∴当x=1时，函数y=x(x＞0)的最小值为2．

（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．