Question

如图，抛物线y=

4

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(x-6)(x-19)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线CD∥x轴交抛物线于D点．动点P，Q分别从C，D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P，Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．
（1）求线段AB与线段CD的长；
（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（3）连接BE．是否存在这样的时刻t，使得∠AEB=∠BDC？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先令y=0，求出A，B，两点的坐标，再令x=0，求出C点坐标，即可求出C，D两点的坐标，再用两点间的距离公式求出AB，CD两点间的距离即可．
（2）作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，由（1）中所求A，B，C，D，的坐标，根据三角形相似可求出PF，QG，FG，的长，再利用梯形的面积减去△APF与△BQG的面积即可．
（3）若∠AEB=∠BDC，则根据△AEC∽△EBD，△QED∽△QAB求出t的值．

解答：解：（1）当y=0时，

4

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（x-6）（x-19）=0，
∴x₁=6，x₂=19，
∴x₁=6，x₂=19，
∴A（6，0），B（19，0），
∴AB=13．
当x=0时，y=8，
∴C（0，8）．
当y=8时，

4

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（x-6）（x-19）=8，
解得x₁=0，x₂=25，
∴D（25，8），
∴CD=25．

（2）如图，
作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，
∵CD∥x轴，
∴PF=DH=OC=8，OH=CD=25，
∵OA=6，OB=19，
∴BH=OH-OB=6，
∴BD=

BH2+DH2

=10，
∵△BDH∽△BQG，
∴

BD

BQ

=

DH

QG

=

BH

BG

．
由题意得CP=DQ=t，AF=t+6，
∴

10

10+t

=

8

QG

=

6

BG

，
∴QG=

4

5

t+8，BG=

3

5

t+6，
∴FG=t+19+

3

5

t+6=

8

5

t+25．
∴S=S_梯形PFGQ-S_△PAF-S_△AQG=

1

2

（PF+QG）•FG-

1

2

AF•PF-

1

2

AG•QG=

2

5

t²+8.8t+100．

（3）∵AC=BD=10，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠ACD=∠BDC．
若∠AEB=∠BDC，则∠AEC+∠BED=∠BED+∠EBD，
∴∠AEC=∠EBD．
同理，∠BED=∠EAC．
∴△AEC∽△EBD．
∴

AC

DE

=

CE

BD

，
即

10

DE

=

25-DE

10

，
∴DE=5（DE=20＞AB=13舍去），
∵△QED∽△QAB，
∴

ED

AB

=

QD

QB

，
即

5

13

=

t

t+10

，
解得t=

25

4

．

点评：本题比较复杂，综合考查了二次函数图象上点的坐标特点及等腰梯形的性质，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差“关系求解．