Question

如图，抛物线y=-

1

8

x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且抛物线的对称轴为直线x=1，设∠ABC=α，且cosα=

4

5

．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）动点P从点A出发，沿A→B→C方向，向点C运动；动点Q从点B出发，沿射线BC方向运动．若P、Q两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，当点P到达点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
①试求△APQ的面积S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
②在运动过程中，是否存在这样的t的值，使得△APQ是以AP为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x=1，得出b的值，再利用cosα=

4

5

得出c的值，即可得出答案；
（2）①利用如图1，0＜t≤14，得出s=

1

2

t×

3

5

t=

3

10

t²，以及14≤t≤24，分别求出即可；
②利用当AP=AQ，以及当AP=PQ，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=1，∴b=

1

4

．∴y=-

1

8

x²+

1

4

x+c；
∵∠ABC=α，且cosα=

4

5

．∴tanα=

3

4

，
∴BO=

4

3

C，CO=c，
∴B（

4

3

c，0）．
代入解析式0=-

1

8

×

16

9

c2+

1

4

×

4

3

c+c，
∴c=6，
∴y=-

1

8

x²+

1

4

x+6；

（2）①令y=0，x²-2x-48=0，
x₁=8，x₂=-6，
∴A（-6，0），B（8，0），C（0，6）；
如图1，0＜t≤14，
s=

1

2

t×

3

5

t=

3

10

t²，
如图2，
14≤t≤24，
∵PQ=AB=6+8=14，
AH=

3

5

AB=

42

5

，
∴S=

1

2

×14×

42

5

=

294

5

，
∴S=

3 10 t2    (0＜t≤14) 294 5 (14≤t≤24)

②如图3，0＜t≤14，
当AP=AQ，
∴AP²=AQ²，
t²=（

3

5

t）²+（14-

4

5

t）²，
t=

35

4

，
当AP=PQ，
AP²=PQ²，
t²=（

3

5

t）²+[

4

5

t-（14-

4

5

t）]²，
解得：t=14或t=

70

13

（不合题意舍去），
如图4，14≤t≤24，
AP=AQ，
AP²=AQ²，
∴AP²=PQ²，
[

3

5

（t-14）]²+[14-（t-14）×

4

5

]²=(

3

5

t) 2+（14-

4

5

t）²，
t=

91

5

，
AP=PQ，
AP²=PQ²，
[

3

5

（t-14）]²+[14-（t-14）×

4

5

]²=14²，
∴t=14或t=

182

5

（不合题意舍去），
∴综上所述：t=

35

4

，t=

91

5

或t=14时，△APQ是以AP为一腰的等腰三角形．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知假设当AP=AQ，以及当AP=PQ进行分类讨论是解决问题的关键．