Question

如图，抛物线y=ax²+（a+c）x+c的顶点B在第一象限，它与y轴正半轴交于点A，与x轴交于点D，C，点C在x轴正方向．
（1）求点D的坐标；
（2）若直线AB和x轴负方向交于点F，∠BFC=45°，比较DF：DO和tan∠BCF的大小．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程ax²+（a+c）x+c=0，再根据点D在x轴的负半轴即可得解；
（2）根据∠BFC=45°可得△AOF是等腰直角三角形，根据点D与点A的坐标分别表示出DF与DO的长度，即可求出其比值，利用顶点公式写出点B的坐标，过点B作BE⊥x轴于点E，根据∠BFC=45°可知△BEF是等腰直角三角形，利用BE=EF列式求出a、c的关系，再根据BE与CE的长度列式求出tan∠BCF，然后进行比较即可得解．

解答：解：（1）y=0时，ax²+（a+c）x+c=0，
△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
结合图形可知，a＜0，c＞0，
∴x=

-b± △

2a

=

-(a+c)± (a-c)2

2a

=

-(a+c)±(c-a)

2a

，
解得x₁=-1，x₂=-

c

a

，
∴点D的坐标是（-1，0）；

（2）当x=0时，y=ax²+（a+c）x+c=c，
∵∠BFC=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴OF=c，
∴DF=OF-DO=c-1，
∴DF：DO=（c-1）：1=c-1，
∵-

b

2a

=-

a+c

2a

，

4ac-b2

4a

=

4ac-(a+c)2

4a

=-

(a-c)2

4a

，
∴顶点B的坐标是（-

a+c

2a

，-

(a-c)2

4a

），
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，
即-

(a-c)2

4a

=-

a+c

2a

+c，
整理得a+c=2，
又∵CE=CO-OE=-

c

a

-（-

a+c

2a

）=

a-c

2a

，
∴tan∠BCF=

BE

CE

=

- (a-c)2 4a

a-c 2a

=

c-a

2

=

c-(2-c)

2

=c-1，
∴DF：DO=tan∠BCF=c-1．

点评：本题是对二次函数的综合考查，包括二次函数解析式与x轴的交点的求解，等腰直角三角形的性质，顶点坐标的求解，以及正切函数的求解，综合性较强，难度较大，但只要认真分析，仔细计算也不难求解．