Question

19．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，连结BC，作∠BCP=∠BCD，CP交AB延长线于点P．
（1）求证：PC是半圆O的切线；
（2）求证：PC²=PB•PA；
（3）若PC=2，tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，求$\widehat{AB}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的判定证得OC⊥PC即可；
（2）连接AC，通过证得△PCB∽△PAC对应边成比例，从而证得结论；
（3）作BE⊥PC，根据∠BCP=∠BCD，tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，得出$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，求得AD=2CD，BD=$\frac{1}{2}$CD，AB=AD+BD=$\frac{5}{2}$CD，得出OB=OC=$\frac{5}{4}$CD，根据角的平分线的性质得出OB=OC=$\frac{5}{4}$CD，通过证得B∥OC，得出$\frac{BE}{OC}$=$\frac{PB}{OB+PB}$，从而证得PB=$\frac{5}{6}$CD，然后根据PC²=PB•PA求得CD=$\frac{6}{5}$，从而得出直径AB=$\frac{5}{2}$CD=3，根据圆弧的公式即可求得$\widehat{AB}$的长．

解答 解：（1）连接OC，
∴CD⊥AB，
∴∠BCD+∠OBC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BCP=∠BCD，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是半圆O的切线；
（2）连接AC，
∵PC是半圆O的切线，
∴∠PAC=∠PCB，
∵∠APC=∠CPB，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴PC²=PB•PA；
（3）作BE⊥PC，
∵PC⊙O的切线，
∴∠PCB=∠DAC，
∵∠BCP=∠BCD，tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BCD=tan∠BCP=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2CD，BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴AB=AD+BD=$\frac{5}{2}$CD，
∴OB=OC=$\frac{5}{4}$CD，
∵∠BCP=∠BCD，
∴OB=OC=$\frac{5}{4}$CD，
∵OC⊥PC，BE⊥PC，
∴B∥OC，
∴$\frac{BE}{OC}$=$\frac{PB}{OB+PB}$
∴$\frac{\frac{1}{2}CD}{\frac{5}{4}CD}$=$\frac{PB}{\frac{5}{4}CD+PB}$，
∴PB=$\frac{5}{6}$CD，
∴PA=PB+AB=$\frac{10}{3}$CD，
∵PC²=PB•PA，
∴2²=$\frac{5}{6}$CD×$\frac{10}{3}$CD，
∴CD=$\frac{6}{5}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$CD=3，
∴$\widehat{AB}$的长为：$\frac{3π}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角函数的应用，弧长公式的应用等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．