Question

15．在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交y轴与点A，交x轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且△ABC的面积为12．
（1）如图1，求直线AC的解析式；
（2）如图2，若CE⊥AB，垂足为点E，交y轴于点D，求线段AD的长；
（3）在（2）的条件下，将△ADE及直线AC均水平向右平移m个单位得到△A′D′E′及直线A′C′，点P在直线A′C′上，且P点的横坐标为$\frac{30}{11}$，当PD′+PE′的值最小时，求m的值及这个最小值．

Answer 1

分析 （1）先求的A、B两点的坐标，然后根据△ABC的面积为12可求得BC的长，从而得到点C的坐标，最后利用待定系数法求得AC的解析式即可；
（2）证明∠DCO=∠BAO，然后根据$\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OA}$可求得OD的长，从而得到AD的长；
（3）作点D关于AC的对称点F，连接EF交AC于点G，过点E作EH⊥AD，垂足为H．首先求得点E的坐标，然后求得直线EF的解析式，接下来求得EF与AC的交点F的坐标，最后根据平移的性质可求得m的值，由平移的性质可知PD′+PE′的最小值等于EF的长．

解答 解：（1）令直线y=2x+4的y=0得：2x+4=0，解得x=-2．
∴点B的坐标为（-2，0）．
令直线y=2x+4的x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4）．
∵△ABC的面积为12，
∴$\frac{1}{2}BC•OA=12$，即$\frac{1}{2}×4×BC=12$．
解得：BC=6．
所以点C的坐标为（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x+4．
（2）∵CE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠AED=∠DOC=90°．
∵∠ADE=∠ODC
∴∠BAO=∠BCE．
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}$．
∴OD=2．
∴AD=2．
（3）作点D关于AC的对称点F，连接EF交AC于点G，过点E作EH⊥AD，垂足为H．

∵点D关于AC的对称点F，
∴点F的坐标为（2，4）．
∵tan∠EAD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴$\frac{ED}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴ED=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△EHD中，EH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ED=$\frac{4}{5}$．HD=$\frac{\sqrt{5}}{5}ED$$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{5}$．
∴点E的坐标为（-0.8，2.4）．
设直线EF的解析式为y=ax+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-0.8a+b=2.4}\\{2a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{7}}\\{b=\frac{20}{7}}\end{array}\right.$．
∴直线EF的解析式为y=$\frac{4}{7}x+\frac{20}{7}$．
将y=$\frac{4}{7}x+\frac{20}{7}$与y=-x+4联立，解得x=$\frac{8}{11}$．
设平移的距离为m个单位，
∴$\frac{8}{11}+m$=$\frac{30}{11}$．
解得：m=2．
由平移的性质可知：PD′+PE′=EF=$\sqrt{[2-（-0.8）^{2}+（4-2.4）^{2}}$=4$\sqrt{65}$．
答：m=2，PD′+PE′的最小值为4$\sqrt{65}$．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、轴对称路径最短问题、平移的性质求得平以前EF与AC的交点的坐标是解题的关键．