Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=9，点P是边CD上的动点（点P不与点C、点D重合），过点P作直线PQ∥AC，交AD边于点Q，再把△DPQ沿着动直线PQ对折，点D的对应点是点E，设DP的长度为x，△EPQ与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠DQP的度数；
（2）当x取何值时，点E落在矩形ABCD的边BC上？
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用PQ∥AC，Rt△ADC中，tan∠DAC=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

，从而求出角度，
（2）由折叠得△DPQ≌△EPQ，PE=x，PC=

1

2

PE=

1

2

x，再求出x，
（3）利用三角形面积之间的关系求出．

解答：解：（1）∵PQ∥AC，
∴∠DQP=∠DAC，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=3

3

，AD=BC=9，∠D=90°，
Rt△ADC中，tan∠DAC=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴∠DQP=30°；

（2）如图，由折叠得△DPQ≌△EPQ，
∴∠DPQ=∠EPQ，PD=PE=x，
∵∠DQP=30°，∠D=90°，
∴∠DPQ=∠EPQ=60°，
∴∠EPC=60°，
Rt△PEC中，PE=x，∠EPC=60°，
∴PC=

1

2

PE=

1

2

x，
∴

1

2

x+x=3

3

，
∴x=2

3

，
∴当x=2

3

时，点E落在矩形ABCD的边BC上；

（3）当0＜x≤2

3

时，点E落在矩形ABCD的内部或BC边上，
△EPQ与矩形ABCD重叠部分为△EPQ，
∴y=S_△EPQ=S_△DPQ=

1

2

DP×DQ=

1

2

x×

3

x=

3

2

x2，
当2

3

＜x＜3

3

时，点E落在矩形ABCD的外部，
∵PC=3

3

-x，
∴PN=6

3

-2x，EN=x-6

3

+2x=3x-6

3

，EM=

3

x-6，
∴y=S_△EPQ-S_△EMN=

3

2

x2-

1

2

×EM×EN，
=

3

2

x2-

1

2

×(3x-6

3

)(

3

x-6)，
（0＜x≤2

3

）（2

3

＜x＜3

3

），
=-

3

x2+18x-18

3

，
∴y=

3 2 x2 - 3 x2+18x-18 3

．

点评：此题主要考查了图形的折叠问题，以及三角函数值问题和求函数解析式问题，综合性较强．