题目内容

如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²-3x与经过点B（0，6）的直线相交于x轴上点A（3，0），P为线段AB上一动点（P点横坐标为t，且与点A、B不重合），过P作x轴垂线，交抛物线于Q点，连接OP，OQ，QA．
（1）写出直线AB表达式；
（2）求t为何值时，△POQ为等腰直角三角形；
（3）设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式，并求S的整数值的个数．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点是（- $数学公式$ ， $数学公式$ ），对称轴是直线x=- $数学公式$ ．

解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，6）代入得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则直线AB解析式为y=-2x+6；
（2）将x=t代入直线AB解析式得：y=-2t+6；将x=t代入抛物线y=x²-3x解析式得：y=t²-3t，
∴|PQ|=-2t+6-t²+3t=-t²+t+6，
若△POQ为等腰直角三角形，则有2t=-t²+t+6，即t²+t-6=0，
解得：t=2或t=-3（舍去），
则t=3时，△POQ为等腰直角三角形；
（3）∵OA⊥PQ，
∴S= $\text{[math]}$ |OA|•|PQ|= $\text{[math]}$ ×2×（-t²+t+6）=-t²+t+6，
∵0＜S＜6 $\text{[math]}$ ，∴S的整数值可能为1，2，3，4，5，6，
当S=1，2，3，6时，求出的t值不在范围0＜t＜3中，舍去，
当S=4时，求出t=2；当S=5时，求出t= $\text{[math]}$ ，
则S的整数值有2个．
分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B代入计算求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）若三角形POQ为等腰直角三角形，根据题意得到|PQ|=2t，将x=t代入直线AB解析式求出P纵坐标，将x=t代入抛物线解析式求出Q纵坐标，两纵坐标相减的绝对值即为|PQ|，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；
（3）四边形APOQ的对角线互相垂直，由OA与PQ乘积的一半表示出S与t的关系式，求出S的整数值个数即可．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．