Question

【题目】有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图1），连接，，若，．

（1）试探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）把与剪去，将绕点顺时针旋转得，边交于点（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，求的度数；

（3）若将沿方向平移得到（如图3），与交于点，与交于点，当时，求平移的距离．

Answer 1

【答案】（1），，理由见解析；（2）或；（3）平移的距离是

【解析】

（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．

（1）解：，．

延长交于点，

根据旋转的性质得：AB=AM，AD=AF，∠BAD=∠MAF=90°

∴．

∴，．

又∵，

∴，

∴，

∴

（2）解：如图2，

①当时，，

则，即；

②当时，，

∴，即；

∴的度数为或

（3）如图3，

由题意得矩形．设，则，

在中，∵，

∴，，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，

解得．即．

答：平移的距离是．