Question

如图（1），四边形ABCD是正方形，F是边BC上一点，且△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，G为DF的中点．
（1）求证：EG=CG，EG⊥CG；
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转至如图（2）的位置，G为DF中点，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可以得出∠BDC=45°，由直角三角形的性质就看由得出EG=CG=

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2

DF，EG=DG=CG，就可以求出∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD，根据三角形的外角与内角的关系就可以得出∠EGC=90°，从而求出结论；
（2）取BF中点H，连接EH，GH，连接BD，取BD中点O，连接OG，OC，根据等腰直角三角形性质求出CO=

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2

BD，CO⊥BD，根据三角形的中位线得出GH∥BD，GH=

1

2

BD，OG∥BF，OG=

1

2

BF，推出OC=GH，根据等腰直角三角形性质得出EH=

1

2

BF，推出四边形OBHG是平行四边形，求出∠GOC=∠EHG，证△GOC≌△EHG，推出EG=CG，∠EGH=∠GCO，求出∠EGC的度数即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，
∴EG=DG=

1

2

DF，CG=DG=

1

2

DF．
∴EG=CG，∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD．
∵∠FGE=∠GED+∠GDE，∠FGC=∠GCD+∠GDC，
∴∠FGE=2∠GDE，∠FGC=2∠GDC，
∴∠FGE+∠FGC=2（∠GDE+∠GDC）．
∵∠GDE+∠GDC=∠BDC=45°，
∴∠FGE+∠FGC=90°．
∴∠EGC=90°，
∴CG⊥EG．

（2）取BF中点H，连接EH，GH，连接BD，取BD中点O，连接OG，OC，
∵CB=CD，∠DCB=90°，
∴CO=

1

2

BD，
∵DG=GF，
∴GH∥BD，GH=

1

2

BD，
∴OG∥BF，OG=

1

2

BF，
∴OC=GH，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=

1

2

BF，
∴EH=OG，
∴四边形OBHG是平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG，
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG，
在△GOC和△EHG中

OG=EH ∠GOC=∠EHG OC=GH

，
∴△GOC≌△EHG（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCO，
∴∠EGC=∠EGH+∠HGO+∠CGO，
=∠CGO+∠GCO+∠GOD，
=180°-∠DOC，
=180°-90°，
=90°，
∴EG⊥CG，即EG=CG．EG⊥CG．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，垂直的判定的运用，解答时根据直角三角形的性质求解是关键．