Question

设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米）．设路基高为h，两侧的坡角分别为α和β，已知h=2，α=45°，tanβ=

1

2

，CD=10．
（1）求路基底部AB的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？

Answer 1

分析：（1）分别过D、C作下底AB的垂线，设垂足为E、F．在Rt△ADE和Rt△BCF中，可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值，求出AE、BF的长，进而可求得AB的值．
（2）根据（1）得出的梯形下底宽，可求出梯形的面积，进而可求出需要多少土石方．

解答：解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F．
Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2，
∴AE=DE=h=2．
Rt△BCF中，tanβ=

1

2

，CF=h=2，
∴BF=2CF=4．
故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16．

（2）S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•h=

1

2

×（10+16）×2=26．
因此所需的土石方数是：26×1000=26000（立方米）．

点评：坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．