题目内容

李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图1），鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树．现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）．
（1）若按圆形设计，利用（图1）画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出网形鱼塘的面积；
（2）若按正方形设计，利用（图2）画出你所设计的正方形鱼塘示意图；
（3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
（4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？
（1）如图1所示，
AC=
a2+a2
=
2
a，
∴S⊙O=
1
2
πa2；


（2）如图2所示；

（3）有最大面积；
如图2，由作图知，Rt△ABH，Rt△BGC、Rt△CDF和Rt△AED为四个全等的三角形．因此，只要Rt△ABH的面积最大，就有正方形EFGH的面积最大．然而，Rt△ABH的斜边AB=a为定值，所以，点E在以AB为直径的半圆上，当点E正好落在线段AB的中垂线上时，面积最大（斜边为定值的直角三角形以等腰直角三角形面积最大），其最大面积为
1
4
a2，从而得正方形EFGH的最大面积为4×
1
4
a2+a2=2a2；

（4）由图1可知，所设计的圆形鱼塘的面积S圆=
1
2
πa2＜2a2，所以，我认为李大爷新建鱼塘的最大面积是2a2，它是一个正方形鱼塘．
练习册系列答案
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下列三视图所对应的直观图是（　　）
A．B．C．D．
（拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．

（1）使三角形的三边长分别为3，2
2
，
5
；（在图①中画一个即可）
（2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）
如图，已知等腰△ABC，AC=BC
（1）用尺规作图法作∠C的平分线交AB于D（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB=10，sin∠A=
12
13
，求△ACD的面积．
如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使得点P到OA、OB的距离相等，且PC=PD．（要写作法）
如图，方格中有一个△ABC，请你在方格内，画出满足条件A1B1=AB，B1C1=BC，∠A1=∠A的△A1B1C1，并判断△A1B1C1与△ABC是否一定全等．
把下列五块正方形拼成的图形（如图）改成：
①等腰梯形；②正方形．（不准有余料，可多次切割，请在旁边图形上画出来）
按要求作图．（保留作图痕迹，不必写作法）
（1）平面上有A，B，C三点，如图1所示．画直线AC，射线BC，线段AB，在射线BC上取点D，使BD=AB；
（2）如图2，用直尺和圆规作一个角，使它等于∠a．
（1）尺规作图：如图，已知直线l及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使l平分∠APB．
（2）在5×5的方格图中画一个腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．

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