Question

【题目】如图，在中，，M是AB中点，，

（1）在AE、EF、FB中是否总有最大的线段？若有，是哪一条？

（2）AE、EF、FB能否构成直角三角形？若能，请加以证明．

Answer 1

【答案】（1）在AE、EF、FB中总有最大的线段，最大的线段是EF；（2）AE、EF、FB能构成直角三角形.

【解析】

（1）过点A作AN∥BC，交FM延长线于点N，连接EN、EF，通过证明△AMN≌△BMF得到NA=FB，NM=FM，结合可得EN=EF，在Rt△AEN中即可说明最大的线段是EF；

（2）由（1）可得△AEN为直角三角形且NA=FB，EN=EF，问题得解.

解：（1）在AE、EF、FB中总有最大的线段，最大的线段是EF；

理由：过点A作AN∥BC，交FM延长线于点N，连接EN、EF，

∵AN∥BC，

∴∠NAE=∠ACB=90°，∠NAM=∠B，

在△AMN和△BMF中，，

∴△AMN≌△BMF（ASA），

∴NA=FB，NM=FM，

∵，

∴EN=EF，

∴在Rt△AEN中，斜边EN最长，即在AE、EF、FB中，总有最大的线段EF；

（2）AE、EF、FB能构成直角三角形；

证明：由（1）可知△AEN为直角三角形且NA=FB，EN=EF，

∴AE、EF、FB能构成直角三角形.