Question

【题目】如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．

（1）如图1，AB＝10，cosA＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是　 　．

（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．

（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意求出BC的长，设BE＝x，则CE＝6﹣x，由勾股定理得DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，代入到AD2+BE2＝DE2中即可求出BE．

（2）现根据题意找出EP=EB，再由勾股定理得出DP2+EP2＝DE2=AD2+BE2即DE是直角△ABC的完美分割线．

（3）本题需做辅助线：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，根据题意得出ED＝EF．

再过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，证明△MPD∽△NPE，设PD＝a，则PE＝2a，求出DE，即可求出cos∠PDE的值．

解：（1）∵AB＝10，cosA＝，

∴cosA＝，

∴AC＝8，CD＝5，

∴BC=＝＝6，

设BE＝x，则CE＝6﹣x，

在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，

∵DE为完美分割线，

∴AD2+BE2＝DE2，

∴32+x2＝52+（6﹣x）2，

解得：x＝．

∴BE＝．

故答案为：．

（2）证明：如图2，

∵DA＝DP，

∴∠DAP＝∠DPA，

∵PE⊥PD，

∴∠DPA+∠EPB＝90°，

又∠A＝∠B，

∴∠EPB＝∠B，

∴EP＝EB，

∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，

∴DE是直角△ABC的完美分割线．

（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，

∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，

∴△APD≌△BPF（SAS），

∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，

∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，

∵DE是完美分割线，

∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．

又PD＝PF，

∴∠EPD＝90°，

过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，

则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，

∴△MPD∽△NPE，

∴，

设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，

∴cos∠PDE＝＝．