Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．
（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；
（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．

Answer 1

解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；
①△CDA≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．
又∵DA=CE，CD=DC，
∴△CDA≌△DCE．
②△BAD≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD=∠DCE．
又∵AB=CD，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE．
（2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直．
理由是：设AC与BD的交点为点G，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
AC=DB．
又∵AD=CE，AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，AC∥DE．
∴DB=DE．
则BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，
∴BF=FE=3．
∵DF=3，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．