Question

如图所示，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2）和（1，0），下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③(2a+

1

2

c)2＜b2；④a＞1；⑤3a+c＜2；其中正确的结论有（　　）个．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、1

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线的对称轴为x=-

b

2a

＞0得b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，所以abc＞0；由于0＜-

b

2a

＜1，所以2a+b＞0；由于抛物线过（-1，2）、（1，0），则a-b+c=2，a+b+c=0，即b=-1，a+c=1，由于x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，则4a+c＞-2b＞0，所以

4a+c

2

＞-b＞0，两边平方得（

4a+c

2

）²＞b²，整理得（2a+

1

2

c）²＞b²；由2a-1＞0，得a＞

1

2

；3a+c=3a+1-a=2a+1＞2．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为x=-

b

2a

＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵0＜-

b

2a

＜1，
∴2a+b＞0，所以②错误；
把（-1，2）、（1，0）代入解析式得a-b+c=2，a+b+c=0，
∴b=-1，a+c=1，
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
4a+c＞-2b＞0，
∴

4a+c

2

＞-b＞0，
∴（

4a+c

2

）²＞b²，
∴（2a+

1

2

c）²＞b²，所以③错误；
∴2a-1＞0，即a＞

1

2

，所以④错误；
3a+c=3a+1-a=2a+1＞2，所以⑤错误．
故选D．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．