Question

7．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=$\sqrt{3}$，AC=1，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在AB上，另一个顶点在BC边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为△AA₁B₁，第2个为△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…，则第2017个等边三角形的边长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2018}}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2016}}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2015}}$

Answer 1

分析 根据题目已知条件可推出，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，依此类推，第n个等边三角形的边长等于$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$，从而求解．

解答 解：∵AB=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴BC=2，
∴∠ABC=30°，∠ACB=60°．
而△AA₁B₁为等边三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠CAA₁=30°，则∠CA₁A=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理得：B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$，
则第2017个等边三角形的边长为$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$．
故选：B．

点评 本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及解直角三角形，关键是归纳出边长的规律．