Question

如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，将矩形沿AE折叠，使B落到B′的位置，并且B′E与对角线BD垂直．
（1）证明：∠B′AD=∠ADB；
（2）判断△AEF的形状，并说明；
（3）设AB=x，求△AEF的面积S与x的函数关系式．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）证明AB′∥BD，即可解决问题．
（2）证明∠AEB=∠AEB′；证明∠FAE=∠BEA，得到∠AEB′=∠FAE，即可解决问题．
（3）证明△AB′F∽△DAB，得到

AB′

B′F

=

AD

AB

=2；由AB=AB′=x，得到B′F=

1

2

x；由勾股定理求出AF=

5

2

x，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°；
由题意得：B′E⊥BD，∠B′=∠B=90°，
∴AB′∥BD，
∴∠ADB=∠B′AD．
（2）△AEF是等腰三角形．
证明：根据题意可知：∠AEB=∠AEB′；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠AEB′=∠FAE，
∴△AEF是等腰三角形．
（3）∵∠B′=∠BAD，∠ADB=∠B′AD，
∴△AB′F∽△DAB，
∴

AB′

B′F

=

AD

AB

=2，而AB=AB′=x，
∴B′F=

1

2

x；
由勾股定理得：AF²=AB′²+B′F²，
∴AF=

5

2

x，
∴S=

AF•AB

2

=

5

4

x2．

点评：该题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的判定、三角形的面积公式等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．