Question

20．如图，在△ABF中，以AB为直径的圆分别交边AF、BF于C、E两点，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分线，
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：△FEC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠FAC=∠ACO，进而得出AF∥CO，即可得出结论；
（2）先用等腰三角形的三线合一得出AF=AB．再用同角的补角相等得出∠FEC=∠B  即可得出结论．

解答 解：（1）连接OC，则∠CAO=∠ACO，
又∠FAC=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO，
∴AF∥CO，
而CD⊥AF，
∴CO⊥CD，
 即直线CD是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∠FAC=∠CAO
∴AF=AB（三线合一），
∴∠F=∠B，
∵四边形EABC是⊙O的内接四边形，
∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°
∴∠FEC=∠B  
∴∠F=∠FEC，
   即EC=FC 
 所以△FEC是等腰三角形．

点评 此题是切线的性质，主要考查了圆的内接四边形，等腰三角形的性质，圆的性质，解本题的关键是∠FEC=∠B．