Question

【题目】综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，.线段的中点为.

（1）求抛物线的表达式；

（2）若，且点到轴的距离正好等于时，求的值；

（3）直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值为；（3）存在，的值为4或2

【解析】

(1)把和点坐标分别代入表达式求出即可；

(2)因为线段的中点为，所以点H在抛物线的对称轴上，进而得出点H的坐标，可以得出E、F点的坐标，把其坐标代入表达式解出m值即可;

(3)使得是以为直角边的等腰直角三角形重点明白有几种情况，求解时利用全等三角形知识点易得m的值.

（1）抛物线经过点和点，

∴，

解得.

∴抛物线的表达式为.

（2）∵.

∴抛物线的对称轴为直线.

∴点的坐标为.

∴点，两点的坐标分别为，.

∵点在抛物线上，

∴.

解得或（不合题意，舍去）.

∴的值为.

（3）①当点C为等腰直角三角形的顶点时，如下图所示：

∵

∴

在和中

∴

∴

∴

②当点B为等腰直角三角形的顶点时，如下图所示：

过点作轴垂足为

同理可得

∴

∴

综上所述：的值为4或2.