Question

已知，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点．

（1）求点A、B、C三点的坐标；

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

（3）在线段AP上是否存在一点M，使，△MBC的周长最小，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当y=0时,x²-1=0,解得x₁=1,x₂=﹣1．

∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（1，0）．

当x=0时,y=0²-1=﹣1,

∴C点坐标为（0，﹣1）．                

（2）过点P作PQ⊥轴于点Q．

∵AO=BO=CO=1,∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=∠OCB=45°，

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵AP∥CB，

∴∠PAC=180°﹣∠ACB=90°，

∴四边形ACBP是直角梯形．           

∴∠PAQ=∠PAC-∠CAB=45°．

∵∠AQP=90°，

∴PQ=AQ．

设P点（a,a²-1）,则AQ=OA+OQ=1+ a．

∵AQ=PQ,

∴1+ a= a²-1,解得a₁=2,a₂=-1；

∵点P在第一象限，∴a=2．

∴P点坐标为（2，3），∴AP=3．       

∵AC=BC=,S_{四边形ACBP}=4．           

（3）存在.延长CA到点C’，使AC’=AC,过点C’作C’D⊥轴于点D,连接BC’,则BC’与AP的交点即为M点．

∵∠PAC=90°,

∴C与C’关于AP对称．

∵∠C’AD=∠CAO, ∠C’DA=∠COA,C’A=CA,

∴△C‘DA≌△COA．                     

∴DA=OA=1，C’D=CO=1，∴OD=OA+AD=2，

∴C’点坐标为(﹣2，1) ．

∴直线AP与直线BC’的解析式分别为；．

∴解方程组可得点M的坐标为（，）．

∴在线段AP上存在一点M（，），使△MBC的周长最小．