题目内容

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_______；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

图1                           图2                                     图3
解：（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°，
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD，
∴EC=BD，
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5，
∴BD=5；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC，
并取BE的中点K，连接AK，
∵AH⊥BC于H，、
∴∠AHC=90°，
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2，
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD，
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH，
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形，
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形，
∴∠AKB=90°，
∴AK是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD，
∴∠EAC=∠BAD，
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD，
即∠EAB=∠DAC，
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°-∠EBA，
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA，
∴∠EAB=180°-2∠EBA，
∴∠EAB=2∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABC。
练习册系列答案
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25、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=
45°
；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC=
120°
120°
；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，BC=4，AB=3．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．
（2013•顺义区一模）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为
AD
的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为2，cosB=
3
5
，求CE的长．
已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，△ACB≌△DAC，则∠ABC=
45
45
°；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．
已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，AD∥BC，则∠ABC=
45°
45°
；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAM=60°，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．

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