Question

【题目】 如图，中，，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作交于点，过点作的平行线，与过点且与垂直的直线交于点，设点的运动时间为(秒)

（1）用含的代数式表示线段的长；

（2）求当点落在边上时t的值；

（3）设与重合部分图形的面积为(平方单位)，求与的函数关系式；

（4）连结，若将沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形，直接写出此时的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或.

【解析】

（1）由题意可得DF⊥AC，EF⊥AB，DE∥AB，然后利用同角的余角相等可得∠DFE=∠A，进而证明△ADF∽△FED，推出，然后根据△ADF∽△ACB，可分别用含t的式子表示出DF、AF，然后可得DE；

（2）当点落在边上时，易得△ADF∽△DCE，列出比例式求出DC=2t，然后根据AC=20列方程求出t即可；

（3）当时，，利用三角形面积公式求解即可；当时，，作EH⊥AC交AC的延长线于点H，EF交BC于N，DE交BC于M，利用平行线分线段成比例定理求出NM，根据梯形面积公式求解即可；

（4）根据沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形，可知此时为等腰三角形，然后分情况讨论：①当DE=CE时，②当DC=CE时，③当DE=DC时，分别列出方程求t的值即可.

解：（1）由题意可知：DF⊥AC，EF⊥AB，DE∥AB，

∴∠ADF=90°，∠EFA=90°，

∴∠DEF=90°，∠DFA+∠DFE =90°，

∵∠DFA+∠A =90°，

∴∠DFE=∠A，

∵∠DEF=∠ADF=90°，

∴△ADF∽△FED，

∴，

∵∠C＝90°，

易得△ADF∽△ACB，

∵AC=20，BC=10，

∴AB=，

∴，，

又∵AD=10t，

∴DF=5t，AF=，

∴，

∴DE=；

（2）当点落在边上时，

∵DE∥AB，

∴△ADF∽△DCE，

∴，

由（1）可知：DE=，AF=，AD=10t，

∴DC=2t，

∴10t+2t=20，

解得：；

（3）∵DE=，

∴EF=2DE=，

∴当时，；

当D到达C点时，t=20÷10＝2，

∴当时，，

如图，作EH⊥AC交AC的延长线于点H，EF交BC于N，DE交BC于M，

同（2）可得DH=2t，

∴CH=10t+2t-20=12t-20，DC=20-10t，

∵BC∥DF，

∴，

∵BC∥EH，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

综上所述：；

（4）根据沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形，可知此时为等腰三角形，

①当DE=CE时，如图，作EH⊥DC于点H，

由（3）可得DH=2t，

∴DC=4t，

∴10t+4t=20，

解得：；

②当DC=CE时，如图，作EH⊥AC交AC的延长线于点H，连接CE，

由（3）可知：DE=，DH=2t，CH=12t-20，DC=20-10t，

∴EH=t，

由勾股定理得：(12t-20)2+t2=(20-10t)2，

解得：；

③当DE=DC时，

∵DE=，DC=20-10t，

∴，

解得：，

综上所述，当或或时，将沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形形成菱形.