Question

10．已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若⊙O的半径为5，cosB=$\frac{3}{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由AC是⊙O的直径，得到CD⊥AB，根据等腰三角形的性质得到AD=BD，根据切线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，解直角三角形得到AC=10，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵AO=CO，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥BC；
（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵cosB=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∴AD=6，
∴AB=2AD=12．

点评 此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．