Question

如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、不能确定

Answer 1

分析：过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．

解答：解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE=EM=

1

2

AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中

∠PDM=∠CDQ ∠PMD=∠DCQ PM=CQ

∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DM=

1

2

CM；
∴DE=DM+ME=

1

2

（AM+MC）=

1

2

AC=

1

2

，故选B．

点评：此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．