Question

如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为

 

．

Answer 1

分析：过P做BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=

1

2

AC，即可推出ED的长度．

解答：解：过P做BC的平行线至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等边△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠Q ∠PDF=∠QDC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=

1

2

AC，∵AC=2，
∴DE=1．
故答案为1．

点评：本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．