Question

14．如图，正方形OPMN和正方形ABCD全等，AC与BD交于点O，正方形0PNM绕点O旋转，0M交AB于点E，OP交BC于F，如果正方形的边长为3，在上述旋转过程中，OE与0F有怎样的数量关系？四边形OEBF的面积有何变化？请证明你的发现．

Answer 1

分析 根据正方形的性质，利用ASA即可证明△AOE≌△BOF，从而可知S_{四边形OEBF}=S_△AOB=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．可以得到在旋转的过程中四边形OEBF的面积不变化．

解答 OE=OF，四边形OEBF的面积不变．
证明：∵∠AOE+∠BOE=90°，∠MOP=90°，
∴∠BOF=∠AOE，
在△OAE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBF=45°}\\{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF．OE=OF，
∴S_△AOE+S_△OBE=S_△BOF+S_△OBE，
即S_△AOB=S_{四边形OEBF}，
∵S△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{AB}{\sqrt{2}}$×$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$×3²=$\frac{9}{4}$，
∴S_{四边形OEBF}=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了图形的旋转，求解时需抓住正方形的特征，找出△AOE与△BOF在旋转过程中的对称性，获得四边形OEBF的面积与正方形面积的关系，关键是将四边形OEBF的面积转化为△OAB的面积．