Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或1．

Answer 1

分析 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=$\sqrt{5}$，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′=$\sqrt{5}$-1，设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

解答 解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′=$\sqrt{5}$-1，
设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+（$\sqrt{5}$-1）²=（2-x）²，解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=1．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或1．

点评 本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．