Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB²=AP·AD．

（1）求证：AB=AC；

（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BP．

∵AB²=AP·AD，

∴

又∵∠BAD=∠PAB，

∴△ABD∽△APB

∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB．

∴AB=AC．

（2）解：由（1）知AB=AC．

∵∠ABC=60°

∴△ABC为等边三角形．

∴∠BAC=60°

∵P为弧AC的中点

∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°

∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°

∴BP为直径．

∴BP=2．

∴AP=BP=1．

∴AB²=BP²一AP²=3．

∵AB²=AP·AD

∴．