Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表

n	1	2	3
xn

（2）第n个正方形的边长x_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）由四边形CDEF是正方形，即可得CD=CF=DE=EF=x₁，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得

DE

AC

=

BD

BC

，又由BC=1，AC=2，即可求得x₁的值，同理求得x₂，x₃的值；
（2）观察规律即可求得第n个正方形的边长x_n=(

2

3

)n．

解答：解：（1）∵四边形CDEF是正方形，
则CD=CF=DE=EF=x₁，DE∥AC，
∴

DE

AC

=

BD

BC

，
即

x1

2

=

1-x1

1

，
解得：x₁=

2

3

，
同理可得：x₂=

4

9

，
x₃=

8

27

，

n	1	2	3
xn	2 3	4 9	8 27

（2）观察规律可得：第n个正方形的边长x_n=(

2

3

)n…（7分）

点评：此题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，考查了学生的观察归纳能力．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．