Question

如图，AC是?ABCD较长的对角线，过C作CF⊥AF，CE⊥AE．求证：AB•AE+AD•AF=AC²．

Answer 1

证明：作BM⊥AC于点M，
则∠AMB=∠AEC=90°，
∵∠BAM=∠CAE，
∴△ABM∽△ACE，
∴AB•AE=AM•AC，
∵∠BCM=∠CAF，
易得△BCM∽△CAF，
∴BC•AF=CM•AC，
∴AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．
∵AD=BC，
∴AB•AE+AD•AF=AC²．
分析：作BM⊥AC于点M，可证△ABM∽△ACE，则AB•AE=AM•AC，易得△BCM∽△CAF，则BC•AF=CM•AC，故得出结论．
点评：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质．