Question

如图，AC是△ABC的外接圆的直径，AB=4，AC=4

2

，P是BC上任一点，过点P作PD∥AB交AC于点D，设BP=x，则△APD的面积y与x之间的函数关系式为

 

．

Answer 1

分析：因为AC是△ABC的外接圆的直径，所以△ABC是直角三角形，又因为PD∥AB，所以△DPC也是直角三角形，利用S_△APD=S_△APC-S_△DPC即可求出y与x之间的函数关系式．

解答：解：∵AC是△ABC的外接圆的直径，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=4，AC=4

2

，
∴BC=

(4 2 )2-42

=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8，
∵PD∥AB，
∴∠B=∠DPC=90°，
∴△DPC是直角三角形，
∵BP=x，
∴CP=4-x，
∵PD∥AB，
∴

CP

CB

=

DP

AB

，
即：

4-x

4

=

DP

4

，
∴DP=4-x，
∴S_△DPC=

1

2

×（4-x）（4-x）=

1

2

（4-x）²，
∴S_△APD=S_△APC-S_△DPC=

1

2

×4×（4-x）-

1

2

（4-x）²=-

1

2

x²+2x．
故答案为：-

1

2

x²+2x．

点评：本题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角；勾股定理运用以及相似三角形的性质和判定，题目难度不大，具有一定的综合性．