Question

如图，在△AOC中，AC=OC，O是坐标原点，点C在x轴上，点A坐标是（1，3），则点C的坐标是________．若A点在双曲线（x＞0）上，AC与双曲线交于点B，点E是线段OA上一点（不与O，A重合），设点D（m，0）是x轴正半轴上的一个动点，且满足∠BED=∠AOC，当线段OA上符合条件的点E有且仅有2个时，m的取值范围是________．

Answer 1

（5，0）    0＜m＜
分析：首先过点A作AH⊥x轴于点H，过点C作CF⊥OA于点F，易得△AOH∽△COF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得OC的长，即可得点C的坐标；
由∠BED=∠AOC，AC=OC，易证得△ABE∽△OED，由A与C的坐标，可求得直线AC与反比函数的解析式，继而求得点B的坐标，即可求得AB的长，然后设AE=x，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：x²-x+m=0，然后由判别式△＞0，求得m的取值范围．
解答：解：过点A作AH⊥x轴于点H，过点C作CF⊥OA于点F，
∵AC=OC，
∴CF⊥OA，
∴∠CFO=∠AHO=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH∽△COF，
∴，
∵点A坐标是（1，3），
∴OA==，
∴OF=OA=，
∴OC==5，
∴点C的坐标为：（5，0）；
∵AC=OC，
∴∠BAE=∠AOC，
∵∠OEC=∠BED+∠OED=∠BAE+∠ABE，∠BED=∠AOC，
∴∠OED=∠ABE，
∴△ABE∽△OED，
∴AE：OD=AB：OE，
设AE=x，则OE=-x，
∵点A（1，3），点C（5，0），
∴设直线AC的解析式为：y=kx+b，
即，
解得：，
即y=-x+①，
∵点A在反比例函数图象上，
∴此反比例函数的解析式为：y=②，
联立①②得：x=4或x=1（舍去），
∴点B的坐标为：（4，），
∴AB==，
∴x：m=：（-x），
即x²-x+m=0，
∵线段OA上符合条件的点E有且仅有2个，
∴判别式△=（-）²-4×1×m=10-15m＞0，
解得：m＜，
∵点E是线段OA上一点（不与O，A重合），
∴m＞0，
∴m的取值范围是：0＜m＜．
故答案为：（5，0）；0＜m＜．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及判别式的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．