Question

（2013•浙江一模）如图，在△AOC中，AC=OC，O是坐标原点，点C在x轴上，点A坐标是（1，3），则点C的坐标是

（5，0）

．若A点在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，AC与双曲线交于点B，点E是线段OA上一点（不与O，A重合），设点D（m，0）是x轴正半轴上的一个动点，且满足∠BED=∠AOC，当线段OA上符合条件的点E有且仅有2个时，m的取值范围是

0＜m＜

2

3

．

Answer 1

分析：首先过点A作AH⊥x轴于点H，过点C作CF⊥OA于点F，易得△AOH∽△COF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得OC的长，即可得点C的坐标；
由∠BED=∠AOC，AC=OC，易证得△ABE∽△OED，由A与C的坐标，可求得直线AC与反比函数的解析式，继而求得点B的坐标，即可求得AB的长，然后设AE=x，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：x²-

10

x+

15

4

m=0，然后由判别式△＞0，求得m的取值范围．

解答：解：过点A作AH⊥x轴于点H，过点C作CF⊥OA于点F，
∵AC=OC，
∴CF⊥OA，
∴∠CFO=∠AHO=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH∽△COF，
∴

OH

OF

=

OA

OC

，
∵点A坐标是（1，3），
∴OA=

12+32

=

10

，
∴OF=

1

2

OA=

10

2

，
∴OC=

OA•OF

OH

=5，
∴点C的坐标为：（5，0）；
∵AC=OC，
∴∠BAE=∠AOC，
∵∠OEC=∠BED+∠OED=∠BAE+∠ABE，∠BED=∠AOC，
∴∠OED=∠ABE，
∴△ABE∽△OED，
∴AE：OD=AB：OE，
设AE=x，则OE=

10

-x，
∵点A（1，3），点C（5，0），
∴设直线AC的解析式为：y=kx+b，
即

k+b=3 5k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b= 15 4

，
即y=-

3

4

x+

15

4

①，
∵点A在反比例函数图象上，
∴此反比例函数的解析式为：y=

3

x

②，
联立①②得：x=4或x=1（舍去），
∴点B的坐标为：（4，

3

4

），
∴AB=

(4-1)2+( 3 4

-3)2=

15

4

，
∴x：m=

15

4

：（

10

-x），
即x²-

10

x+

15

4

m=0，
∵线段OA上符合条件的点E有且仅有2个，
∴判别式△=（-

10

）²-4×1×

15

4

m=10-15m＞0，
解得：m＜

2

3

，
∵点E是线段OA上一点（不与O，A重合），
∴m＞0，
∴m的取值范围是：0＜m＜

2

3

．
故答案为：（5，0）；0＜m＜

2

3

．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及判别式的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．