Question

5．如图，在平面直角坐标系中，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n），（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）若△ABC的面积为2，求点B的坐标；
（2）是否存在点B，使△ABC为等腰直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由点A（1，2）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，确定k=2，而B（m，n）在函数y=$\frac{2}{x}$图象上，则mn=2，再根据面积公式得到$\frac{1}{2}$•m•（2-n）=2，即2m-mn=4，即可求出m和n，从而得到点B的坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵点A（1，2）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，
∴k=1×2=2，即函数y=$\frac{2}{x}$，
而B（m，n）在函数y=$\frac{2}{x}$图象上，
∴mn=2，
又∵△ABC的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$•m•（2-n）=2，即2m-mn=4，
∴m=3，
∴n=$\frac{2}{3}$，
所以点B的坐标为（3，$\frac{2}{3}$）；

（2）存在，
∵△ABC的等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AC=AB，
∴m=2，
∵而B（m，n）在函数y=$\frac{2}{x}$图象上，
∴n=1，
∴B（2，1）．
∴存在点B，使△ABC为等腰直角三角形．

点评 本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值．