Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行于x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，若在直线b上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：先根据题意化成符合条件的所有情况，再根据A的坐标和等腰三角形的性质逐个求出即可．

解答：
解：∵A（3，4），
∴由勾股定理得：OA=5，OM=3，AM=4，
如图，有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径作弧交直线b于P₁，此时OP=OA，
P₁M=AM=4，
即此时P的坐标是（3，-4）；
②以A为圆心，以OA为半径作弧交直线b于P₂，P₃，此时OP=PA，
P₃M=5+4=9，P₂M=5-4=1，
即此时P的坐标是（3，9）或（3，-1）；
③作OA的垂直平分线交直线b于P₄，此时AP=OP，
则3²+P₄M²=（4-P₄M）²，
解得：P₄M=

7

8

（负数舍去），
此时P的坐标是（3，

7

8

），
故答案为：（3，

7

8

）或（3，-4）或（3，-1）或（3，9）．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的应用，注意：用了分类讨论思想．