题目内容

将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．
（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=
 
度；
②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD．
考点：旋转的性质
专题：常规题型
分析：（1）①根据旋转的性质得∠A1CA=20°，则利用互余得∠ACB1=70°，然后根据∠BCB1=∠ACB+∠ACB1进行计算；
②利用AB与A1B1垂直得∠A1ED=90°，则∠A1DE=90°-∠A1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；
（2）由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=
1
2
AC，再根据旋转的性质得AC=A1C，所以CD=
1
2
A1C，则A1D=CD．
解答：解：（1）①∵将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴∠A1CA=20°
∴∠ACB1=70°，
∴∠BCB1=∠ACB+∠ACB1=160°；
故答案为160；
②当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：
当AB与A1B1垂直时，∠A1ED=90°，
∴∠A1DE=90°-∠A1=90°-30°=60°，
∴∠BDC=60°，
∵∠B=60°，
∴∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA1=90°-∠A1CB=30°；
即旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；
（2）∵AB∥CB1，∠ACB1=90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴CD=
1
2
AC，
∵图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，
∴AC=A1C，
∴CD=
1
2
A1C，
∴A1D=CD．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
练习册系列答案
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3
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