Question

15．如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点（E、F与顶点不重合），∠AFD=90°．
（1）求证：△ADF∽△FCE；
（2）设CF=x，BE=y，求y与x的函数关系式，并求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和角的互余关系即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可得出y与x的函数关系式，化成顶点式，即可得出y的最小值．

解答 （1）证明：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAF+∠AFD=90°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFD+∠CFE=90°，
∴∠DAF=∠CFE，
∴△ADF∽△FCE；
（2）解：∵△ADF∽△FCE，
∴$\frac{AD}{FC}=\frac{DF}{CE}$，即$\frac{2}{x}=\frac{2-x}{2-y}$，
整理得：y=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
即y与x的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x+2=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$＞0，
∴y的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．