Question

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图所示，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间存在怎样的数量关系，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠ACP的值．

Answer 1

分析：（1）AE=2MD，理由为：由题意得到三角形ABC为等边三角形，可得出AB=BC，再由D为BC的中点，得到AB=2BD，由已知的两对角相等，得到△ABE∽△DBM，且相似比为2，可得出AE=2MD，得证；
（2）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由锐角三角函数的定义求得AD、ND的值，进而求得tan∠ACP的值．

解答：解：（1）AE=2MD，理由为：
证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，又D为BC的中点，
∴AB=BC=2BD，即

AB

BD

=2，
∵∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

AE

DM

=

AB

BD

=2，即AE=2MD；
（2）如图2，连接AD，EP，过N作NH⊥AC，垂足为H，连接NH，

∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

，
∴tan∠EAB=

BE

AE

=

3

2

，
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC，
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB，
∴tan∠PCB=

3

2

，
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7

2

3

，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=

7

4

3

，
∴NA=AD-ND=

7

4

3

，
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7

8

3

，AH=AN•cos∠NAH=

21

8

，
∴CH=AC-AH=

35

8

，
∴tan∠ACP=

NH

CH

=

3

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．