Question

（2013•海宁市模拟）如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB=5，AD=3

2

．当△CEF是直角三角形时，BD=

13

或1

．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CE，再分①∠CFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质可得AF=EF=

2

2

AE，再求出CF的长，然后利用勾股定理列式求出CE，从而得解；②∠CEF=90°，求出∠AEC=135°，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=135°，然后求出点B、D、F三点共线，过点A作AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质求出AG=DG=

2

2

AD，再利用勾股定理列式求出BG，然后根据BD=BG-DG计算即可得解．

解答：解：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-∠CAD，
∠CAE=∠DAE-∠CAD=90°-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
①如图1，∠CFE=90°时，AF⊥DE，
∴AF=EF=

2

2

AE=

2

2

×3

2

=3，
CF=AC-AF=5-3=2，
在Rt△CEF中，CE=

EF2+CF2

=

32+22

=

13

，
∴BD=CE=

13

；
②如图2，∠CEF=90°时，∠AEC=135°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，
∴点B、D、F三点共线，
过点A作AG⊥DE，
则AG=DG=

2

2

AD=

2

2

×3

2

=3，
在Rt△ADG中，BG=

AB2-AG2

=

52-32

=4，
∴BD=BG-DG=4-3=1，
综上所述，BD=

13

或1．
故答案为：

13

或1．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在要分情况讨论，∠CEF=90°时证明得到点B、D、F三点共线是解题的关键．