题目内容

在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，点D、E分别在CA、AB上．
（1）如图①，若∠ACB=∠ADE=90°，则CD与BE的数量关系是
 
；
（2）若∠ACB=∠ADE=120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是
 
；，
（3）若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．
考点：相似形综合题
专题：计算题
分析：（1）作DM∥AB，交BC于点M，由已知求出四边形EBMD是平行四边形，得出DM=BE，利用等腰直角三角形求出DM=
2
CD，进而得出BE=
2
CD； 
（2）由
AC
AB
=
AD
AE
=
3
3
，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，得出△CAD∽△BAE，得出BE=
3
CD；
（3）分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，在Rt△ACM和Rt△ADN中，得出
AM
AC
=
AN
AD
=sinα，
AB
AC
=
AE
AD
=2sinα，又∠CAD=∠BAE，求出△BAE∽△CAD，得出
BE
CD
=
AB
AC
=2sinα，即可得出BE=2DC•sinα．
解答：
解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，
∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，
∴DE∥BC，
∴四边形EBMD是平行四边形，
∴DM=BE，
∵DM∥AB，
∴∠CDM=45°，
∴DM=
2
CD，
∴BE=
2
CD； 
故答案为：BE=
2
CD；  
（2）如图②，

∵CA=CB，∠ACB=120°
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=
3
AC，
同理AE=
3
AD，
∴
AC
AB
=
AD
AE
=
3
3
，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，
∴△CAD∽△BAE，
CD
BE
=
AC
AB
=
1
3

∴BE=
3
CD；
故答案为：BE=
3
CD；  
（3）BE=2CD•sinα，
证明：如图③，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，

∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，
∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=
1
2
AB，AN=
1
2
AE．
∴∠CAD=∠BAE，
Rt△ACM和Rt△ADN中，
sin∠ACM=
AM
AC
，sin∠ADN=
AN
AD
，
∴
AM
AC
=
AN
AD
=sinα，
∴
AB
AC
=
AE
AD
=2sinα，
又∵∠CAD=∠BAE，
∴△BAE∽△CAD，
∴
BE
CD
=
AB
AC
=2sinα
∴BE=2DC•sinα．
点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用邻边及夹角的关系来求出两三角形相似．
练习册系列答案
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下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A、通常水加热到100℃时沸腾
B、测量武汉某天的气温，结果是-100℃
C、2014年全年有420天
D、篮球运动员罚球一次，未中
把下列各式分解因式：
①9x2-6xy+y2；                        
②2x3-8x．
如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
如图，?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE，
求证：AE=CF．
分解因式：
（1）（a+b）2-16；
（2）3ax2+6axy+3ay2．
如图，∠AED=∠ACB，∠DEB=∠GFC，BE⊥AC，求证：FG⊥AC．
计算：
（1）
18
+
2
-1
2
+1
=4
1
8
．      
（2）（2
3
-
5
）（
2
+
3
）．
如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100 米．当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°．
（1）求气球的高度；
（2）气球飘移的平均速度是每秒多少米？
（ 以上两小题的结果都保留根式 ）

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