Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点．
（1）以C为圆心，6为半径作圆，试判断点A，D，B与⊙C的位置关系．
（2）当⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上．
（3）若以点C为圆心作圆，使A、O、B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？

Answer 1

分析 （1）各点到C的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC=5，所以当半径为5时，O在⊙C上；
（3）对比OC＜AC＜BC，确定O在圆内，B在圆外，写出半径r的取值即可．

解答 解：（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴A在⊙C上，
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
6×8=10CD，
CD=4.8＜6，
∴D在⊙C内，
∵BC=8＞6，
∴B在⊙C外；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，
∵O为AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴当⊙C的半径为5时，点O在⊙C上；
（3）∵AC=6，OC=5，BC=8，
∴OC＜AC＜BC，
∴当5＜r＜8时，A、O、B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，

点评 此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．