Question

1．已知抛物线y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1，则该抛物线与x轴的交点坐标（-1，0）和（$\frac{1}{3}$，0）
（2）若a=$\frac{1}{3}$，c=2+b且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3，则b=3；
（3）若a+b+c=1，存在实数x，使得相应的y的值为1．
请你判断以上三个命题的真假，并说出理由．

Answer 1

分析 （1）把a=b=1，c=-1代入y=3ax²+2bx+c化为y=3x²+2x-1，令y=0，解方程即可求得抛物线与x轴公共点的坐标是：（-1，0）和（$\frac{1}{3}$，0），是真命题；
（2）a=$\frac{1}{3}$，c-b=2，则抛物线可化为：y=x²+2bx+b+2，其对称轴为：x=-b，然后三种情况讨论抛物线的最小值，从而得出b=3或b=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$时，最小值是-3，故是假命题；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，然后根据△的值即可判定是真命题．

解答 解：（1）当a=b=1，c=-1时，抛物线为：y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的两个根为：x₁=-1，x₂=$\frac{1}{3}$．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（-1，0）和（$\frac{1}{3}$，0）；
（2）a=$\frac{1}{3}$，c-b=2，则抛物线可化为：y=x²+2bx+b+2，
其对称轴为：x=-b，
当x=-b＜-2时，即b＞2，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，
此时-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，
解得：b=3，符合题意，
当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-$\frac{9}{5}$，不合题意，舍去．
当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时，取最小值为-3，
此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化简得：b²-b-5=0，
解得：b₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$（不合题意，舍去），b₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．
综上：b=3或b=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1），
=4b²-12a（-a-b），
=4b²+12ab+12a²，
=4（b²+3ab+3a²），
=4[（b+$\frac{3}{2}$a）²+$\frac{3}{4}$a²]，
∵a≠0，△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数x，使得相应y=1．
所以真命题为（1）（3），假命题为（2）．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点，抛物线的顶点，以及二次方程的根的情况，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．