Question

【题目】如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求k的值和抛物线的解析式．

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，连接BN．

①若△BPN是直角三角形，求点N的坐标．

②当∠PBN＝45°时，请直接写出m的值．（注：当k1k2＝﹣1时，直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2垂直）

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣， y＝﹣x2+x+2；（2）①点N（，）；②m＝或m＝

【解析】

（1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①分和两种情况讨论，即可求解；

②有两解，点在的上方或下方，作辅助线，构建等腰直角三角形，由 得，设，则由，得，，根据，可得和的解析式，分别与抛物线联立方程组，可得结论．

解：（1）把代入中得，，

，

直线的解析式为：，

，

把和代入抛物线中，

则，

解得：，

二次函数的表达式为：；

（2）①当时，且，

，

，

点的纵坐标为2，

，

（舍去），，

点坐标，；

当时，

直线的解析式为：，

，

（舍去），，

点N（，）；

②有两解，点在的上方或下方，

如图2，过点作的垂线交轴于点，

过点作的垂线，垂足为点．

由 得，

，

设，则由，

，

得，，

由，解得，

，

从而，

即，，

由，，得：

直线，直线．

则，

解得：（舍），，

即；

则，

解得：（舍，；

即；

故与.