Question

如图，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，且以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为

（2，2）、（

1

2

，

5

4

）、（

11

4

，

11

16

）、（

13

5

，

26

25

）

．

Answer 1

分析：设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，分别为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标即可．

解答：解：设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=

5

a，
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
①当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=

5

2

a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x²+3x，
根据题意得：

x2+(-x2+3x-2a)2=( 5 a 2 )2 ( 5 a)2+( 5 2 a)2=(-x2+3x)+(x-2)2

解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
则P的坐标是：（

1

2

，

5

4

）；
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
②当∠DCP=90°时，若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（

11

4

，

11

16

），
若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（

13

5

，

26

25

），
综上可知：若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为：（2，2）、（

1

2

，

5

4

）、（

11

4

，

11

16

）、（

13

5

，

26

25

）．
故答案为：（2，2）、（

1

2

，

5

4

）、（

11

4

，

11

16

）、（

13

5

，

26

25

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用及相似三角形的判定．关键是利用平行线的解析式之间的关系，相似三角形的判定与性质，分类求解．