Question

【题目】如图，点在抛物线上，且该抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）若点是抛物线对称轴上的一个动点，求的最小值；

（3）点是是抛物线上除点外的一点，若与的面积相等，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）满足条件的点有三个，分别是：，，

【解析】

（1）由已知M（1，-3）和B（-1，0），使用待定系数法解答即可；

（2）作点M（1，-3）关于对称轴的对称点为M１（2，-3），连接OM，则OD+MD的最小值为OD+DM=OM；

（3）①过M做MN∥AC交抛物线与点N1，直线MNi的解析式为为，与抛物线解析式联立求N；②过点M作MG⊥x轴，交AC于点H，过点G作N2N3∥AC，交抛物线与点N2，N3，则直线N2N3的解析式为，与抛物线解析式联立求N的坐标．

（1）解：把点和代入抛物线，得

解得

∴抛物线的解析式为：

对称轴：

（2）点关于对称轴对称的对称点

过点作轴交轴于点

，有最小值

∴

（3）由（1）易知，

∴得到直线解析式为

∵，

①过作，交抛物线于点，

∵ ∴直线解析式为

得

解得，

∴

②过点作直线轴，交于点，

，∴，

过点作，，交抛物线于点，

则直线解析式为，

得：

解得：或

∴，

∴满足条件的点有三个，分别是：，，